Объем прямоуг параллелепипеда формула. Как найти объем в кубических метрах

Прямоугольник - одна из самых простых плоских фигур, а прямоугольный параллелепипед - такая же простая фигура, но в пространстве (рис. 1). Они очень похожи.

Так же похожи, как круг и шар.

Рис. 1. Прямоугольник и параллелепипед

Разговор про площади начинают с площади прямоугольника, а про объемы - с объема прямоугольного параллелепипеда.

Если мы умеем находить площадь прямоугольника, то это нам позволяет найти площадь любой фигуры.

Вот эту фигуру мы можем разбить на 3 прямоугольника и найти площадь каждого, а значит, и всей фигуры. (Рис. 2.)

Рис. 2. Фигура

Рис. 3. Фигура, площадь которой равна семи прямоугольникам

Даже если фигура не разбивается точно на прямоугольники, это можно сделать с любой точностью и площадь посчитать приблизительно.

Площадь этой фигуры (рис. 3) примерно равна сумме площадей семи прямоугольников. Неточность получается за счет верхних маленьких фигур. Если увеличить число прямоугольников, то неточность уменьшится.

То есть прямоугольник - это инструмент для вычисления площадей любых фигур.

Такая же ситуация, когда речь идет об объемах.

Любую фигуру можно выложить прямоугольными параллелепипедами, кирпичиками. Чем мельче будут эти кирпичики, тем точнее мы сможем посчитать объем (рис. 4, рис.5).

Рис. 4. Вычисление площади с помощью прямоугольных параллелепипедов

Прямоугольный параллелепипед является инструментом для вычисления объемов любых фигур.

Рис. 5. Вычисление площади с помощью маленьких параллелепипедов

Давайте немного вспомним.

Квадрат со стороной 1 единица (рис. 6) имеет площадь в 1 квадратную единицу. Исходная линейная единица может быть любой: сантиметр, метр, километр, миля.

Например, 1 см 2 - это площадь квадрата со стороной 1 см.

Рис. 6. Квадрат и прямоугольник

Площадь прямоугольника - это количество таких квадратов, которые в него поместятся. (Рис. 6.)

Уложим единичные квадраты в длину прямоугольника в один ряд. Получилось 5 штук.

В высоту помещается 3 квадрата. Значит, всего помещается три ряда, в каждом по пять квадратов.

Итого площадь равна .

Понятно, что нет нужды каждый раз внутри прямоугольника размещать единичные квадраты.

Достаточно умножить длину одной стороны на длину другой.

Или в общем виде:

Очень похоже обстоят дела с объемом прямоугольного параллелепипеда.

Объем куба со стороной 1 единица - это 1 кубическая единица. Опять же, исходные линейные величины могут быть любыми: миллиметры, сантиметры, дюймы.

Например, 1 см 3 - это объем куба со стороной 1 см, а 1 км 3 - это объем куба со стороной 1 км.

Найдем объем прямоугольного параллелепипеда со сторонами 7 см, 5 см, 4 см. (Рис. 7.)

Рис. 7. Прямоугольный параллелепипед

Объем нашего прямоугольного параллелепипеда - это количество единичных кубов, помещающихся в него.

Уложим на дно ряд единичных кубиков со стороной 1 см вдоль длинной стороны. Поместилось 7 штук. Уже по опыту работы с прямоугольником мы знаем, что на дно поместится всего 5 таких рядов, по 7 штук в каждом. То есть всего:

Назовем это слой. Сколько таких слоев мы можем уложить друг на друга?

Это зависит от высоты. Она равна 4 см. Значит, укладывается 4 слоя в каждом по 35 штук. Всего:

А откуда у нас появилось число 35? Это 75. То есть количество кубиков мы получили перемножением длин всех трех сторон.

Но это и есть объем нашего прямоугольного параллелепипеда.

Ответ: 140

Теперь мы можем записать формулу и в общем виде. (Рис. 8.)

Рис. 8. Объем параллелепипеда

Объем прямоугольного параллелепипеда со сторонами , , равен произведению всех трех сторон.

Если длины сторон даны в сантиметрах, то объем получится в кубических сантиметрах (см 3).

Если в метрах, то объем в кубических метрах (м 3).

Аналогично объем может быть измерен в кубических миллиметрах, километрах и т. д.

Стеклянный куб со стороной 1 м наполнен водой целиком. Какова масса воды? (Рис. 9.)

Рис. 9. Куб

Куб является единичным. Сторона - 1 м. Объем - 1 м 3 .

Если мы знаем, сколько весит 1 кубический метр воды (сокращенно говорят кубометр), то задача решена.

Но если мы этого не знаем, то нетрудно посчитать.

Длина стороны .

Посчитаем объем в дм 3 .

Но 1 дм 3 имеет отдельное название, 1 литр. То есть у нас 1000 литров воды.

Нам всем известно, что масса одного литра воды равна 1 кг. То есть у нас 1000 кг воды, или 1 тонна.

Понятно, что такой куб, наполненный водой, не под силу передвинуть ни одному обычному человеку.

Ответ: 1 т.

Рис. 10. Холодильник

Холодильник имеет высоту 2 метра, ширину 60 см и глубину 50 см. Найти его объем.

Прежде чем мы воспользуемся формулой объема - произведение длин всех сторон - необходимо перевести длины в одинаковые единицы измерения.

Мы можем перевести все в сантиметры.

Соответственно, и объем мы получим в кубических сантиметрах.

Думаю, вы согласитесь, что в кубических метрах объем более понятен.

Человек на глаз плохо отличает число с пятью нулями от числа с шестью нулями, а ведь одно в 10 раз больше, чем другое.

Часто нам нужно перевести одну единицу объема в другую. Например, кубометры в кубические дециметры. Тяжело запомнить все эти соотношения. Но этого и не нужно делать. Достаточно понять общий принцип.

Например, сколько кубических сантиметров в кубическом метре?

Давайте посмотрим, сколько кубиков со стороной 1 сантиметр поместится в куб со стороной 1 м. (Рис. 11.)

Рис. 11. Куб

В один ряд укладывается 100 штук (ведь в одном метре 100 см).

В один слой укладывается 100 рядов или кубиков.

Всего помещается 100 слоев.

Таким образом,

То есть если линейные величины связаны соотношением «в одном метре 100 см», то чтобы получить соотношение для кубических величин, нужно возвести 100 в 3 степень (). И не нужно каждый раз чертить кубы.

Измерьте все необходимые расстояния в метрах. Объем многих трехмерных фигур легко вычислить по соответствующим формулам. Однако все значения, подставляемые в формулы, должны измеряться в метрах. Таким образом, перед подстановкой значений в формулу убедитесь, что все они измеряются в метрах, или что вы конвертировали другие единицы измерения в метры.

• 1 мм = 0,001 м
• 1 см = 0,01 м
• 1 км = 1000 м

Для вычисления объема прямоугольных фигур (прямоугольный параллелепипед, куб) используйте формулу: объем = L × W × H (длину умножить на ширину умножить на высоту). Эту формулу можно рассматривать как произведение площади поверхности одной из граней фигуры на ребро, перпендикулярное этой грани.

• Например, вычислим объем комнаты длиной 4 м, шириной 3 м и высотой 2,5 м. Для этого просто умножим длину на ширину и на высоту:
  • 4 × 3 × 2,5
  • = 12 × 2,5
  • = 30. Объем этой комнаты равен 30 м 3 .
• Куб – объемная фигура, у котрой все стороны равны. Таким образом, формулу для вычисления объема куба можно записать в виде: объем = L 3 (или W 3 , или H 3).

Для вычисления объема фигур в виде цилиндра используйте формулу: пи × R 2 × H. Вычисление объема цилиндра сводится к умножению площади круглого основания на высоту (или длину) цилиндра. Найдите площадь круглого основания, умножив число пи (3,14) на квадрат радиуса круга (R) (радиус - расстояние от центра окружности до любой точки, лежащей на этой окружности). Затем полученный результат умножьте на высоту цилиндра (H), и вы найдете объем цилиндра. Все значения измеряются в метрах.

• Например, вычислим объем колодца диаметром 1,5 м и глубиной 10 м. Разделите диаметр на 2, чтобы получить радиус: 1,5/2=0,75 м.
  • (3,14) × 0,75 2 × 10
  • = (3,14) × 0,5625 × 10
  • = 17,66. Объем колодца равен 17,66 м 3 .

Для вычисления объема шара используйте формулу: 4/3 х пи × R 3 . То есть вам нужно знать только радиус (R) шара.

• Например, вычислим объем воздушного шара диаметром 10 м. Разделите диаметр на 2, чтобы получить радиус: 10/2=5 м.
  • 4/3 х пи × (5) 3
  • = 4/3 х (3,14) × 125
  • = 4,189 × 125
  • = 523,6. Объем воздушного шара равен 523,6 м 3 .

Для вычисления объема фигур в виде конуса используйте формулу: 1/3 х пи × R 2 × H. Объем конуса равен 1/3 объема цилиндра, который имеет такую же высоту и радиус.

• Например, вычислим объем конуса мороженного радиусом 3 см и высотой 15 см. Конвертируя в метры, получим: 0,03 м и 0,15 м соответственно.
  • 1/3 х (3,14) × 0,03 2 × 0,15
  • = 1/3 х (3,14) × 0.0009 × 0,15
  • = 1/3 × 0.0004239
  • = 0,000141. Объем конуса мороженного равен 0,000141 м 3 .

Для вычисления объема фигур неправильной формы используйте несколько формул. Для этого попробуйте разбить фигуру на несколько фигур правильной формы. Затем найдите объем каждой такой фигуры и сложите полученные результаты.

• Например, вычислим объем небольшого зернохранилища. Хранилище имеет цилиндрический корпус высотой 12 м и радиус 1,5 м. Хранилище также имеет коническую крышу высотой 1 м. Вычислив отдельно объем крыши и отдельно объем корпуса, мы можем найти общий объем зернохранилища:
  • пи × R 2 × H + 1/3 х пи × R 2 × H
  • (3,14) × 1,5 2 × 12 + 1/3 х (3,14) × 1,5 2 × 1
  • = (3,14) × 2,25 × 12 + 1/3 х (3,14) × 2,25 × 1
  • = (3,14) × 27 + 1/3 х (3,14) × 2,25
  • = 84,822 + 2,356
  • = 87,178. Объем зернохранилища равен 87,178 м 3 .

Объем параллелепипеда

Величина объема дает нам представление о том, какую часть пространства занимает интересующий нас объект, а чтобы найти объем прямоугольного параллелепипеда нужно умножить его площадь основания на высоту.

В повседневной жизни, чаще всего для измерения объема жидкости, как правило, используют такую измерительную единицу, как литр = 1дм3.

Кроме этой единицы измерения для определения объема применяют:

Параллелепипед относится к простейшим трехмерным фигурам и поэтому найти его объем не представляет никаких сложностей.

Объем параллелепипеда равен произведению его длины, ширины и высоты. Т.е. для нахождения объема прямоугольного параллелепипеда, достаточно умножить все его три измерения.

Чтобы найти объем куба, нужно взять его длину и возвести в третью степень.

Определение параллелепипеда

А теперь давайте вспомним, что же такое параллелепипед и чем он отличается от куба.

Параллелепипедом называют такую объемную фигуру, в основании которой лежит многоугольник. Поверхность прямоугольного параллелепипеда состоит из шести прямоугольников, которые являются гранями данного параллелепипеда. Поэтому логично, что параллелепипед имеет шесть граней, которые состоят из параллелограммов. Все грани этого многоугольника, которые расположены друг против друга, имеют одинаковые размеры.

Все ребра параллелепипеда и есть сторонами граней. А вот точки соприкосновения граней являются вершинами данной фигуры.

Задание:

1. Посмотрите внимательно на рисунок и скажите, что она вам напоминает?
2. Подумайте и дайте ответ, где в повседневной жизни вы можете столкнуться с такой фигурой?
3. Сколько ребер имеет параллелепипед?

Разновидности параллелепипедов

Параллелепипеды делятся на несколько разновидностей, таких как:

Прямоугольный;
Наклонный;
Куб.

К прямоугольным параллелепипедам относятся те фигуры, у которых грани состоят из прямоугольников.

Если же боковые грани не являются перпендикулярными его основанию, то перед вами наклонный параллелепипед.

Такая фигура, как куб, также является параллелепипедом. Его все без исключения грани имеют форму квадратов.

Свойства параллелепипеда

Изучаемая фигура имеет ряд свойств, о которых мы сейчас с вами узнаем:

Во-первых, противоположные грани этой фигуры равны и параллельны друг другу;

Во-вторых, он симметричен лишь относительно средины любой без исключения своей диагонали;

В-третьих, если взять и провести диагонали между всеми противоположными вершинами параллелограмма, то у них окажется всего одна точка пересечения.

В-четвертых, квадрат длинны его диагонали, равен сумме квадратов 3-х его измерений.

Историческая справка

За период разных исторических эпох в разных странах использовали различные системы измерения массы, длины и других величин. Но так как это затрудняло торговые отношения между странами, а также тормозило развитие наук, то появилась необходимость иметь единую международную систему мер, которая была бы удобна для всех стран.

Метрическая система мер СИ, которая устраивала большинство стран, была разработана во Франции. Благодаря Менделееву метрическая система мер была внедрена и в России.

Но многие профессии по сей день используют свои специфические метрики, иногда это дань традициям, иногда вопрос удобства. Так, например, моряки все еще предпочитают измерять скорость в узлах, а расстояние в милях – для них это традиция. А вот ювелиры всего мира отдают предпочтение такой единице измерения, как карат – и в их случае это и традиция и удобство.

Вопросы:

1. А кто знает, сколько метров в одной миле? А что такое один узел?
2. Почему единица измерения алмазов называется «карат»? Почему ювелирам исторически удобно измерять массу в таких единицах?
3. А кто помнит, в каких единицах измеряется нефть?

Параллелепипед - это призматическая фигура, все грани которой являются параллелограммами. Если в роли граней выступают обычные прямоугольники, то параллелепипед является прямоугольным и именно форму данной фигуры имеют такие реальные объекты как панельные дома, аквариумы, книги, принтеры или кирпичи.

Геометрия параллелепипеда

Прямоугольный параллелепипед ограничен шестью гранями, при этом противоположные грани фигуры равны и параллельны друг другу. Данная геометрическая фигура представляет собой частный случай прямой четырехугольной призмы. Параллелепипед имеет 12 ребер и 8 вершин. В каждой из вершин сходятся по три ребра фигуры, которые являются длиной, шириной и высотой параллелепипеда или его измерениями. Если длина, ширина и высота фигуры равны, то параллелепипед превращается в куб.

Параллелепипеды в реальной жизни

Большое количество существующих в реальности объектов имеют форму параллелепипеда. Широкое распространение такая форма получила благодаря легкости производства, удобству хранения и транспортировки, идеальной сочетаемости одинаковых параллелепипедов, устойчивости и постоянству размеров. Параллелепипедную форму имеют такие объекты, как кирпичи, коробки, смартфоны, блоки питания, дома, комнаты и многое другое.

Объем параллелепипеда

Важным свойством любого геометрического тела является его вместимость, то есть объем фигуры. Объем - это характеристика объекта, которая показывает, сколько единичных кубов он способен вместить. В общем случае объем любой призматической фигуры рассчитывается по формуле:

где So – площадь основания фигуры, а h – ее высота.

Данная формула легко иллюстрируется следующим примером. Представьте, что у вас есть один лист бумаги А4. Это обычный прямоугольник, который характеризуется строго определенной площадью. Грубо говоря, лист - это плоскость. Теперь представьте стандартную пачку бумаги из 500 листов формата А4. Это уже объемная фигура, имеющая форму параллелепипеда. Узнать ее объем легко, достаточно перемножить площадь листа, лежащего в основании, на их количество, то есть, на высоту призмы.

Параллелепипед - это частный случай призмы, в основании которой лежит прямоугольник. Площадь прямоугольника представляет собой простое произведение его сторон, следовательно, для параллелепипеда:

Для определения объема достаточно умножить So на высоту фигуры. Таким образом, объем прямоугольного параллелепипеда считается по простой формуле, представляющей перемножение трех сторон тела:

V = a × b × h,

где a – длина, b – ширина, h – высота геометрической фигуры.

Для определения объема прямоугольного параллелепипеда вам достаточно замерить три этих параметра и просто перемножить их. Если вы не хотите постоянно держать в голове формулы определения объемов и площадей геометрических фигур, то воспользуйтесь нашим каталогом онлайн-калькуляторов: каждый инструмент подскажет вам, какие параметры вы должны замерить и мгновенно вычислит результат. Рассмотрим пару примеров, когда вам может понадобиться определить объем параллелепипеда.

Примеры из жизни

Аквариум

К примеру, вы купили старый аквариум в форме параллелепипеда, но вам никто не сказал, какой объем имеет данная конструкция. Объем аквариума - важный параметр, по которому определяется мощность системы обогрева для морских обитателей. Вычислить данную характеристику несложно - достаточно замерить длину, ширину и высоту аквариума и ввести эти данные в форму калькулятора. Допустим, длина аквариума составляет 1 м, ширина - 50 см, а высота - 70 см. Для правильного расчета важно выразить все стороны в одних единицах измерения, допустим, в метрах.

V = 1 × 0,5 × 0,7 = 0,35

Таким образом, объем аквариума составит 0,35 кубических метров или 350 литров. Зная объем, вы без проблем подберете мощность для системы обогрева.

Строительство

Допустим, вы заливаете плитный фундамент для своей дачи и вам необходимо узнать, сколько бетона понадобится для заливки основания. Плитный фундамент - это цельная монолитная плита, которая располагается под всей площадью здания. Для того чтобы узнать требуемый объем бетона, необходимо вычислить объем плиты. Плита, к счастью, имеет форму прямоугольного параллелепипеда, поэтому вы без проблем можете подсчитать нужное количество бетона. Допустим, ваша дача - это стандартный домик 6 на 6 метров. Вы уже знаете два из трех необходимых параметров. Согласно требованиям, толщина плитного фундамента должна быть не менее 10 см, и вы можете сами выбрать подходящий размер. К примеру, вы решили залить плиту толщиной 20 см. Для правильного расчета задайте все параметры в одних единицах измерения, то есть метрах, и получите результат:

V = 6 × 6 × 0,2 = 7,2

Следовательно, для заливки фундамента вам понадобится 7,2 кубических метров бетона.

Заключение

Определение объема параллелепипедных фигур может пригодиться вам во многих случаях: от бытовых проблем до производственных вопросов, от школьных заданий до проектных задач. Наш онлайн-калькулятор поможет вам решить задания любой сложности.

С научной точки зрения прямоугольный параллелепипед это объемная фигура, состоящая из 6 граней — прямоугольников. А если по-простому, то кирпич, прямоугольный бассейн или садовый бак, кирпич, спичечный коробок — все это прямоугольные параллелепипеды.

Как видим, эта фигура встречается в жизни довольно часто. И не менее часто возникает потребность найти объем такой фигуры. К примеру, чтобы знать какого размера делать бассейн, чтоб он вместил определенное количество воды или каким делать бак на дачном участке. Именно для этого мы сделали наш калькулятор, который позволит найти объем прямоугольного параллелепипеда мгновенно, в режиме онлайн. Все, что от вас требуется — знать длину, ширину и высоту объекта, ввести их в поля калькулятора и получить результат.

Прямоугольный параллелепипед

Как найти объем прямоугольного параллелепипеда.

Вообще, очень просто. Если мы знаем длину, ширину и высоту, то достаточно их перемножить. Полученное число и есть искомый объем. Важно — объем измеряется в кубических метрах, сантиметрах, дециметрах и т. д. В итоге, если обозначить длину как a, ширину как b, высоту как c, а объем общепринятым способом — V, то формула для расчета объема прямоугольного параллелепипеда будет выглядеть таким образом:

V = a x b x c

Как видим, она очень проста для запоминания.

Рассмотрим на примере.

Какой объем воды содержит бассейн, если его длина 10 метров, ширина 3 метра, а глубина 1,5 метра?

Умножив, получим 10 x 3 x 1,5 = 45 м 3 или, другими словами, 45 кубических метров.