Необходимые и достаточные условия монотонности функции. Достаточное условие строгой монотонности функции на промежутке

Числовое множество X считается симметричным относительно нуля, если для любого x ЄX значение -х также принадлежит множеству X .

Функция y = f (х X , считается четной X x ЄX , f (х ) = f (-х ).

У четной функции график симметричен относительно оси Оу.

Функция y = f (х ), которая задана на множестве X , считается нечетной , если выполняются следующие условия: а) множество X симметрично относительно нуля; б) для любого x ЄX , f (х ) = -f (-х ).

У нечетной функции график симметричен относительно начала координат.

Функция у = f (x ), x ЄX , называется периодической на X , если найдется число Т (Т ≠ 0) (период функции), что выполняются следующие условия:

• х - Т и х + Т из множества X для любого х ЄX ;
• для любого х ЄX , f (х + T ) = f (х - T ) = f (х).

В случае, когда Т - это период функции, то любое число вида mТ , где m ЄZ , m ≠ 0, это также период этой функции. Наименьший из положительных периодов данной функции (если он существует) называется ее главным периодом.

В случае, когда Т - основной период функции, то для построения ее графика можно построить часть графика на любом из промежутков области определения длины Т , а затем сделать параллельный перенос этого участка графика вдоль оси Ох на ±Т , ±2T , ....

Функция y = f (х ), ограниченна снизу на множестве Х А , что для любого х ЄX , А ≤ f (х ). График функции, который ограничен снизу на множестве X , полностью располагается выше прямой у = А (это горизонтальная прямая).

Функция у = f (x ), ограниченна сверху на множестве Х (она при этом должна быть определенной на этом множестве), если есть число В , что для любого х ЄX , f (х ) ≤ В . График функции, который ограничен сверху на множестве X, полностью располагается ниже прямой у = В (это горизонтальная линия).

Функция, считается ограниченной на множестве Х (она при этом должна быть определенной на этом множестве), если она ограничена на этом множестве сверху и снизу, т. е. существуют такие числа А и В , что для любого х ЄX выполняются неравенства A ≤ f (x ) ≤ B . График функции, которая ограничена на множестве X , полностью располагается в промежутке между прямыми у = А и у = В (это горизонтальные прямые).

Функция у = f (х ), считается ограниченной на множестве Х (она при этом должна быть определенной на этом множестве), если найдется число С > 0, что для любого x ЄX , │f (х )│≤ С .

Функция у = f (х ), х ЄX , называется возрастающей (неубывающей) на подмножестве М СX , когда для каждых х 1 и х 2 из М таких, что х 1 < х 2 , справедливо f (х 1) < f (х 2) (f (х 1) ≤ f (х 2)). Или функция у называется возрастающей на множестве К , если большему значению аргумента из этого множества соответствует большее значение функции.

Функция у = f (х ), х ЄX, называется убывающей (невозрастающей) на подмножестве М СX , когда для каждых х 1 и х 2 из М таких, что х 1 < х 2 , справедливо f (х 1) > f (х 2) (f (х 1) ≥ f (х 2)). Или функция у называется убывающей на множестве К , если большему значению аргумента из этого множества соответствует меньшее значение функции.

Функция у = f (x ), х ЄX , называется монотонной на подмножестве М СX , если она является убывающей (невозрастающей) или возрастающей (неубывающей) на М .

Если функция у = f (х ), х ЄX , является убывающей или возрастающей на подмножестве М СX , то такая функция называется строго монотонной на множестве М .

Число М называют наибольшим значением функции у на множестве К , если это число является значением функции при определенном значении х 0 аргумента из множества К , а при других значениях аргумента из множества К значения функции у не больше числа М .

Число m называют наименьшим значением функции у на множестве К , если это число является значением функции при определенном значении х 0 аргумента из множества К , а при других значениях аргумента х из множества К значения функции у не меньше числа m .

Основные свойства функции , с которых лучше начинать ее изучение и исследование это область ее определения и значения. Следует запомнить, как изображаются графики элементарных функций. Только потом можно переходить к построению более сложных графиков. Тема "Функции" имеет широкие приложения в экономике и других областях знания. Функции изучают на протяжении всего курса математики и продолжают изучать в высших учебных заведениях . Там функции исследуются при помощи первой и второй производных.

Монотонная функция – это функция, меняющаяся в одном и том же направлении.

Функция возрастает , если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Говоря иначе, если при возрастании значения x значение y тоже возрастает, то это возрастающая функция.

Функция убывает , если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Говоря иначе, если при возрастании значения x значение y убывает, то это убывающая функция.

Если функция возрастает или убывает на некотором промежутке, то она называется монотонной на этом промежутке.

Функция постоянна (немонотонна) , если она не убывает и не возрастает.

Теорема (необходимый признак монотонности):

1. Если дифференцируемая функция f(x) в некотором интервале возрастает, то ее производная на этом интервале неотрицательна, т.е .

2. Если дифференцируемая функция f(x) в некотором интервале убывает, то ее производная на этом интервале неположительна, .

3. Если функция не изменяется, то ее производная равна нулю, т.е. .

Теорема (достаточный признак монотонности):

Пусть f(x) непрерывна на интервале (a;b) и имеет производную во всех точках, тогда:

1. Если внутри (a;b) положительна, то f(x) возрастает.

2. Если внутри (a;b) отрицательна, то f(x) убывает.

3. Если , то f(x) постоянна.

Исследование функции на экстремумы.

Экстремум - максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум - точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум - точкой максимума.

1. Найдите область определения функции и интервалы, на которых функция непрерывна.

2. Найдите производную .

3. Найдите критические точки, т.е. точки в которых производная функции равна нулю или не существует.

4. В каждом из интервалов на которые область определения разбивается критическими точками, определить знак производной и характер изменения функции.

5. Относительно каждой критической точки определить, является ли она точной максимума, минимума или не является точкой экстремума.

Записать результат исследования функции промежутки монотонности и экстремума.

Наибольшее и наименьшее значение функции.

Схема нахождения наибольшего и наименьшего значений функции, непрерывной на отрезке.

1. Найти производную .

2. Найти на данном отрезке критические точки.

3. Вычислить значение функции в критических точках и на концах отрезка.

4. Из вычисленных значений выбрать наименьшее и наибольшее.

Выпуклость и вогнутость функции.

Дуга называется выпуклой, если она пересекается с любой своей секущей не более, чем в двух точках.

Линии, образуемые выпуклостью вверх, называются выпуклыми, а образуемые выпуклостью вниз - вогнутыми.

Геометрически ясно, что выпуклая дуга лежит под любой своей касательной, а вогнутая дуга – над касательной.

Точки перегиба функции.

Точкой перегиба называется такая точка линии, которая отделяет выпуклую дугу от вогнутой.

В точке перегиба касательная пересекает линию, в окрестности этой точки линия лежит по обе стороны от касательной.

Интервалу убывания первой производной соответствует участок выпуклости графика функции, а интервалу возрастания – участок вогнутости.

Теорема (о точках перегиба):

Если вторая производная всюду в интервале отрицательна, то дуга линии y = f(x), соответствующая этому интервалу, выпуклая. Если вторая производная всюду в интервале положительна, то дуга линии y = f(x), соответствующая этому интервалу, вогнутая.

Необходимый признак точки перегиба:

Если – абсцисса точки перегиба, то либо , либо не существует.

Достаточный признак точки перегиба:

Точка есть точка перегиба линии y = f(x), если , а ;

При слева от нее лежит участок выпуклости, справа – участок вогнутости, а при слева лежит участок вогнутости, а справа – выпуклости.

Асимптоты.

Определение.

Асимптотой графика функции называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки графика функции до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.

Виды асимптот:

1. Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции y=f(x), если хотя бы одна из прямых значений или равно или .

Необходимое и достаточное условие монотонности функции на промежутке.

Необходимое и достаточное условие постоянства функции на промежутке

Теорема
Пусть функция f(x) определена в промежутке X и имеет внутри него конечную производную f/(x), а на концах (если они принадлежат X) сохраняет непрерывность. Для того чтобы f(x) была в X постоянной , достаточно условие f/(x)=0 внутри X.

Доказательство
Пусть это условие выполнено. Фиксируем некоторую точку x0 из промежутка X и возьмем любую другую его точку x. Для промежутка [х0,х] или [х,х0] удовлетворены все условия теоремы Лагранжа . Следовательно, можем написать

f(x)−f(x0)=f/(c)(x−x0),

Где c содержится между x0 и x, а значит, заведомо лежит внутри X. Но, по предположению, f/(c)=0, так что для всех x из X

f(x)=f(x0)=const.

Теорема доказана.

Заметим, что высказанное условие, очевидно, является и необходимым для постоянства функции.

Следствие . Пусть две функции f(x) и g(x) определены в промежутке X и внутри него имеют конечные производные f/(x) и g/(x), а на концах (если они принадлежат X) сохраняют непрерывность. Если при этом f/(x)=g/(x) внутри X,

то во всем промежутке X эти функции разнятся лишь на постоянную:

f(x)=g(x)+C (С = const).

Для доказательства достаточно применить теорему к разности f(x)−g(x) , так как ее производная f/(x)−g/(x) внутри X сводится к нулю, то сама разность в X будет постоянной.

Теорема (достаточное условие)

Если функция f(x) дифференцируема на (a,b) и f/(x)≥0 (f/(x)≤0) на (a,b), то f(x) не убывает (не возрастает) на (a,b).

Доказательство
Рассмотрим случай когда f/(x)≥0 . Рассмотрим две точки x1,x2∈(a,b) и применим формулу Лагранжа. На функция f(x) удовлетворяет всем условиям этой теоремы. Следует, чтоx1

f(x2)−f(x1)=f/(c)(x2−x1), где c∈(x1,x2) и правая часть больше нуля, значит f(x2)−f(x1)≥0 или f(x2)≥f(x1) при x2>x1, функция не убывает.

Теорема доказана.

Замечание

Если требовать, что f/(x)>0 (f/(x)<0), тогда функция строго возрастает (убывает).

6. необходимое условие экстремума.

Необходимый признак существования экстремума:

Для нахождения экстремумов функции z =f (x,y) сначала нужно найти стационарные точки этой функции, в которых частные производные функции z =f (x,y) равны нулю. Для этого нужно решить систему уравнений:

Функция может иметь экстремум также в тех точках, где хотя бы одна из частных производных не существует.

Условие (1) является необходимым условием экстремума, но оно не является достаточным, т.е. в стационарной точке экстремума может и не быть.

Рассмотрим достаточное условие экстремума . Пусть точка M 0 – стационарная точка функции z=f (x,y), которая имеет непрерывные частные производные второго порядка на некоторой окрестности точки M0,

Если D>0, то экстремум в точке M0 есть, при этом M0 – точка минимума при A>0 и M0 – точка максимума при A<0. Если D<0, то экстремума в точке M0 нет.

При D=0 требуются дополнительные исследования функции в окрестности точки M0, мы не будем рассматривать этот случай.

7. достаточное условие экстремума. Смотри в 6 вопросе.

Направление выпуклости графика функции.

Точки перегиба

Дадим определение направления выпуклости графика функции. Предположим, что функция дифференцируема на интервале . Это значит (см. §3), что на данном интервале график функции имеет в каждой своей точке касательную, не параллельную оси ординат.

Определение. Говорят, что график функции имеет на интервале выпуклость, направленную вниз (вверх), если график этой функции в пределах данного интервала лежит выше (ниже) любой своей касательной.

Следующая теорема устанавливает связь между направлением выпуклости графика функции и знаком её второй производной. Эта теорема приводится здесь без доказательства.

Теорема 25.1. Пусть функция имеет на интервале вторую производную. Тогда, если эта производная положительна (отрицательна) всюду на этом интервале, то график функции имеет на интервале выпуклость, направленную вниз (вверх).

Дадим определение точки перегиба. Предположим, что функция дифференцируема на интервале , т.е. в любой точке, абсцисса которой принадлежит интервалу , график этой функции имеет касательную.

Определение. Точка графика функции называется точкой перегиба этого графика, если существует такая окрестность точки оси абсцисс, в пределах которой график функции слева и справа от точки имеет разные направления выпуклости.

График функции , изображённый на рисунке 6, на интервале имеет выпуклость, направленную вверх, на интервале – выпуклость, направленную вниз; точка (0,0) является точкой перегиба этого графика.

Сформулируем без доказательства необходимое условие перегиба графика функции, имеющей вторую производную.

Теорема 25.2. Если функция имеет в точке вторую производную и график этой функции имеет перегиб в точке , то .

Отсюда ясно, что перегиб следует искать лишь в тех точках оси абсцисс, в которых сама функция дифференцируема, а вторая производная этой функции либо равна нулю, либо не существует. Такие точки называются критическими точками второго рода.

Заметим, что равенство нулю второй производной является необходимым, но не достаточным условием перегиба. Так, например, функция в точке не имеет перегиба, хотя вторая производная этой функции, равная , в точке равна нулю.
Сформулируем теперь без доказательства достаточное условие перегиба.

Теорема 25.3. Пусть функция имеет вторую производную в некоторой окрестности точки , при этом сама точка является критической точкой второго рода. Тогда, если в пределах указанной окрестности вторая производная имеет разные знаки слева и справа от точки , то график этой функции имеет перегиб в точке .

Функция f (x ) называется возрастающей на промежутке D , если для любых чисел x 1 и x 2 из промежутка D таких, что x 1 < x 2 , выполняется неравенство f (x 1) < f (x 2).

Функция f (x ) называется убывающей на промежутке D , если для любых чисел x 1 и x 2 из промежутка D таких, что x 1 < x 2 , выполняется неравенство f (x 1) > f (x 2).

Рисунок 1.3.5.1. Промежутки возрастания и убывания функции

На показанном на рисунке графике функция y = f (x ), возрастает на каждом из промежутков [a ; x 1) и (x 2 ; b ] и убывает на промежутке (x 1 ; x 2). Обратите внимание, что функция возрастает на каждом из промежутков [a ; x 1) и (x 2 ; b ], но не на объединении промежутков

Если функция возрастает или убывает на некотором промежутке, то она называется монотонной на этом промежутке.

Заметим, что если f - монотонная функция на промежутке D (f (x )), то уравнение f (x ) = const не может иметь более одного корня на этом промежутке.

Действительно, если x 1 < x 2 - корни этого уравнения на промежутке D (f (x )), то f (x 1) = f (x 2) = 0, что противоречит условию монотонности.

Перечислим свойства монотонных функций (предполагается, что все функции определены на некотором промежутке D ).

Аналогичные утверждения можно сформулировать и для убывающей функции.

Точка a называется точкой максимума функции f a , что для любого x f (a ) ≥ f (x ).

Точка a называется точкой минимума функции f , если существует такая ε-окрестность точки a , что для любого x из этой окрестности выполняется неравенство f (a ) ≤ f (x ).

Точки, в которых достигается максимум или минимум функции, называются точками экстремума .

В точке экстремума происходит смена характера монотонности функции. Так, слева от точки экстремума функция может возрастать, а справа - убывать. Согласно определению, точка экстремума должна быть внутренней точкой области определения.

Если для любого (x ≠ a ) выполняется неравенство f (x ) ≤ f (a ) то точка a называется точкой наибольшего значения функции на множестве D :

Точка наибольшего или наименьшего значения может быть экстремумом функции, но не обязательно им является.

Точку наибольшего (наименьшего) значения непрерывной на отрезке функции следует искать среди экстремумов этой функции и ее значений на концах отрезка.

График 1.3.5.1. Функция, ограниченная сверху

График 1.3.5.2. Функция, ограниченная снизу

График 1.3.5.3. Функция, ограниченная на множестве D .

Наибольшее и наименьшее значения функции y=f(x) на [а,b].