Две прямые и смежные углы. Смежные и вертикальные углы

Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными лучами. На рисунке 20 углы АОВ и ВОС смежные.

Сумма смежных углов равна 180°

Теорема 1. Сумма смежных углов равна 180°.

Доказательство. Луч ОВ (см. рис.1) проходит между сторонами развернутого угла. Поэтому ∠ АОВ + ∠ ВОС = 180° .

Из теоремы 1 следует, что если два угла равны, то смежные с ними углы равны.

Вертикальные углы равны

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными лучами сторон другого. Углы АОВ и COD, BOD и АОС, образованные при пересечении двух прямых, являются вертикальными (рис. 2).

Теорема 2. Вертикальные углы равны.

Доказательство. Рассмотрим вертикальные углы АОВ и COD (см. рис. 2). Угол BOD является смежным для каждого из углов АОВ и COD. По теореме 1 ∠ АОВ + ∠ BOD = 180°, ∠ COD + ∠ BOD = 180°.

Отсюда заключаем, что ∠ АОВ = ∠ COD.

Следствие 1. Угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.

Рассмотрим две пересекающиеся прямые АС и BD (рис.3). Они образуют четыре угла. Если один из них прямой (угол 1 на рис.3), то остальные углы также прямые (углы 1 и 2, 1 и 4 - смежные, углы 1 и 3 - вертикальные). В этом случае говорят, что эти прямые пересекаются под прямым углом и называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными). Перпендикулярность прямых АС и BD обозначается так: AC ⊥ BD.

Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, перпендикулярная к этому отрезку и проходящая через его середину.

АН - перпендикуляр к прямой

Рассмотрим прямую а и точку А, не лежащую на ней (рис.4). Соединим точку А отрезком с точкой Н прямой а. Отрезок АН называется перпендикуляром, проведенным из точки А к прямой а, если прямые АН и а перпендикулярны. Точка Н называется основанием перпендикуляра.

Чертежный угольник

Справедлива следующая теорема.

Теорема 3. Из всякой точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.

Для проведения на чертеже перпендикуляра из точки к прямой используют чертежный угольник (рис.5).

Замечание. Формулировка теоремы обычно состоит из двух частей. В одной части говорится о том, что дано. Эта часть называется условием теоремы. В другой части говорится о том, что должно быть доказано. Эта часть называется заключением теоремы. Например, условие теоремы 2 - углы вертикальные; заключение - эти углы равны.

Всякую теорему можно подробно выразить словами так, что ее условие будет начинаться словом «если», а заключение - словом «то». Например, теорему 2 можно подробно высказать так: «Если два угла вертикальные, то они равны».

Пример 1. Один из смежных углов равен 44°. Чему равен другой?

Решение. Обозначим градусную меру другого угла через x , тогда согласно теореме 1.
44° + х = 180°.
Решая полученное уравнение, находим, что х = 136°. Следовательно, другой угол равен 136°.

Пример 2. Пусть на рисунке 21 угол COD равен 45°. Чему равны углы АОВ и АОС?

Решение. Углы COD и АОВ вертикальные, следовательно, по теореме 1.2 они равны, т. е. ∠ АОВ = 45°. Угол АОС смежный с углом COD, значит, по теореме 1.
∠ АОС = 180° - ∠ COD = 180° - 45° = 135°.

Пример 3. Найти смежные углы, если один из них в 3 раза больше другого.

Решение. Обозначим градусную меру меньшего угла через х. Тогда градусная мера большего угла будет Зх. Так как сумма смежных углов равна 180° (теорема 1), то х + Зх = 180°, откуда х = 45°.
Значит, смежные углы равны 45° и 135°.

Пример 4. Сумма двух вертикальных углов равна 100°. Найти величину каждого из четырех углов.

Решение. Пусть условию задачи отвечает рисунок 2. Вертикальные углы COD к АОВ равны (теорема 2), значит, равны и их градусные меры. Поэтому ∠ COD = ∠ АОВ = 50° (их сумма по условию 100°). Угол BOD (также и угол АОС) смежный с углом COD, и, значит, по теореме 1
∠ BOD = ∠ АОС = 180° - 50° = 130°.

Равна двум прямым углам.

Даны два смежных угла : АОВ и ВОС . Требуется доказать, что:

∠АОВ+∠ВОС= d+ d = 2d

Восставим из точки О к прямой АС перпендикуляр OD . Мы разделили угол АОВ на две части AOD и DOB так, что можно написать:

∠AO B = ∠ AO D+∠ D OB

Прибавим к обеим частям этого равенства по одному и тому же углу BOС , отчего равенство не нарушится:

∠ AO B + ∠ BO С = ∠ AOD + ∠ D OB + ∠ BO С

Так как сумма D OB + BOС составляет прямой угол DO С , то

∠ AO B+ ∠ BO С = ∠ AO D + ∠ DO С = d + d = 2 d,

что и требовалось доказать.

Следствия .

1. Сумма углов (AO B, BOС , СOD , DOE ), расположенных вокруг общей вершины (O ) по одну сторону прямой (AE ) равна 2 d = 180 0 , потому что эта сумма составляет сумму двух смежных углов , например таких: АОС + СОЕ

2. Сумма углов , расположенных вокруг общей вершины (O ) по обе стороны какой-нибудь прямой равна 4 d=360 0 ,

Обратная теорема.

Если сумма двух углов , имеющих общую вершину и общую сторону и не покрывающих друг друга, равна двум прямым углам (2d), то такие углы - смежные , т.е. две другие их стороны составляют прямую линию .

Если из одной точки (O) прямой (AB) восстановить к ней, по каждую ее сторону, перпендикуляры, то эти перпендикуляры образуют одну прямую (СD). Из всякой точки вне прямой можно опустить на эту прямую перпендикуляр и притом только один.

Потому, что сумма углов COB и BOD равна 2d.

Прямая С части которой O С и OD служат перпендикулярами к прямой AB , называется прямой перпендикулярной к AB .

Если прямая С D перпендикулярна к прямой AB , то и наоборот: AB перпендикулярна к С D , потому что части OA и OB служат также перпендикулярны к С D . Поэтому прямые AB и С D называются взаимноперпендикулярными .

То, что две прямые AB и С D взаимноперпендикулярны, выражают письменно так AB ^ С D .

Два угла называются вертикальными , если стороны одного составляют продолжение сторон другого.

Так, при пересечении двух прямых AB и С D образуются две пары вертикальных углов: AO D и СOB ; AOС и D OB .

Теорема.

Два вертикальных угла равны.

Пусть даны два вертикальных угла: AOD и С OB т.е. OB есть продолжение OA , а O С продолжение OD .

Требуется доказать, что AOD = С OB.

По свойству смежных углов можем написать:

AO D + D OB = 2 d

DOB + BOС = 2d

Значит: AOD + DOB = DOB + BOС.

Если вычесть из обеих частей этого равенства по углу D OB , получим:

AO D = BOС , что и требовалось доказать.

Аналогично докажем, что AOС = D OB .

На данном уроке мы рассмотрим и уясним для себя понятие смежные углы. Рассмотрим теорему, которая их касается. Введем понятие «вертикальные углы». Рассмотрим опорные факты, касающиеся этих углов. Далее сформулируем и докажем два следствия об угле между биссектрисами вертикальных углов. В конце занятия рассмотрим несколько задач, посвященных этой теме.

Начнем наш урок с понятия «смежные углы». На рисунке 1 изображен развернутый угол ∠АОС и луч ОВ, который делит данный угол на 2 угла.

Рис. 1. Угол ∠АОС

Рассмотрим углы ∠АОВ и ∠ВОС. Вполне очевидно, что они имеют общую сторону ВО, а стороны АО и ОС являются противолежащими. Лучи ОА и ОС дополняют друг друга, а значит, они лежат на одной прямой. Углы ∠АОВ и ∠ВОС являются смежными.

Определение: Если два угла имеют общую сторону, а две другие стороны являются дополняющими лучами, то данные углы называются смежными .

Теорема 1: Сумма смежных углов - 180 о.

Рис. 2. Чертеж к теореме 1

∠МОL + ∠LON = 180 o . Данное утверждение является верным, так как луч OL делит развернутый угол ∠MON на два смежных угла. То есть мы не знаем градусных мер ни одного из смежных углов, а знаем лишь их сумму - 180 о.

Рассмотрим пересечение двух прямых. На рисунке изображено пересечение двух прямых в точке О.

Рис. 3. Вертикальные углы ∠ВОА и ∠СОD

Определение: Если стороны одного угла являются продолжением второго угла, то такие углы называются вертикальными. Именно поэтому на рисунке изображено две пары вертикальных углов: ∠АОВ и ∠СОD, а также ∠AOD и ∠ВОС.

Теорема 2: Вертикальные углы равны.

Используем рисунок 3. Рассмотрим развернутый угол ∠АОС. ∠АОВ = ∠АОС - ∠ВОС = 180 о - β. Рассмотрим развернутый угол ∠ВОD. ∠CОD = ∠BОD - ∠BОС = 180 о - β.

Из этих соображений мы делаем вывод, что ∠АОВ = ∠СОD = α. Аналогично, ∠AOD = ∠ВОС = β.

Следствие 1: Угол между биссектрисами смежных углов равен 90 о.

Рис. 4. Чертеж к следствию 1

Поскольку ОL - биссектриса угла ∠ВОА, то угол ∠LOB = , аналогично ∠ВОК = . ∠LOK = ∠LOB + ∠BOK = + = . Сумма углов α + β равна 180 о, поскольку данные углы - смежные.

Следствие 2: Угол между биссектрисами вертикальных углов равен 180 о.

Рис. 5. Чертеж к следствию 2

KO - биссектриса ∠AOB, LO - биссектриса ∠COD. Очевидно, что ∠KOL = ∠KOB + ∠BOC + ∠COL = o . Сумма углов α + β равна 180 о, так как данные углы - смежные.

Рассмотрим некоторые задачи:

Найдите угол, смежный с ∠АOС, если ∠АOС = 111 о.

Выполним чертеж к задаче:

Рис. 6. Чертеж к примеру 1

Поскольку ∠АОС = β и ∠СOD = α смежные углы, то α + β = 180 о. То есть 111 о + β = 180 о.

Значит, β = 69 о.

Этот тип задач эксплуатирует теорему о сумме смежных углов.

Один из смежных углов прямой, каким (острым, тупым или прямым) является другой угол?

Если один из углов прямой, а сумма двух углов 180 о, то и другой угол тоже прямой. Эта задача проверяет знания о сумме смежных углов.

Верно ли, что если смежные углы равны, то они прямые?

Составим уравнение: α + β = 180 о, но поскольку α = β, то β + β = 180 о, значит, β = 90 о.

Ответ: Да, утверждение верно.

Даны два равных угла. Верно ли, что и смежные им углы тоже будут равны?

Рис. 7. Чертеж к примеру 4

Если два угла равны α, то соответствующие им смежные углы будут 180 о - α. То есть они будут равны между собой.

Ответ: Утверждение верно.

1. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. и др. Геометрия 7. - М.: Просвещение.
2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 7. 5-е изд. - М.: Просвещение.
3. \Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузова, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под редакцией В.А. Садовничего. - М.: Просвещение, 2010.

1. Измерение отрезков ().
2. Обобщающий урок по геометрии в 7-м классе ().
3. Прямая линия, отрезок ().

1. № 13, 14. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузова, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под редакцией В.А. Садовничего. - М.: Просвещение, 2010.
2. Найдите два смежных угла, если один из них в 4 раза больше другого.
3. Дан угол. Постройте для него смежный и вертикальный углы. Сколько таких углов можно построить?
4. * В каком случае получается больше пар вертикальных углов: при пересечении трех прямых в одной точке или в трех точках?

Геометрия - это весьма многогранная наука. Она развивает логику, воображение и интеллект. Конечно, из-за своей сложности и огромного количества теорем и аксиом, она не всегда нравится школьникам. Кроме этого, существует необходимость постоянно доказывать свои выводы, используя общепринятые стандарты и правила.

Смежные и вертикальные углы - это неотъемлемая составляющая геометрии. Наверняка многие школьники просто обожают их по той причине, что их свойства понятны и просты в доказательстве.

Образование углов

Любой угол образуется путем пересечения двух прямых или проведения двух лучей из одной точки. Они могут называться либо одной буквой, либо тремя, которые последовательно обозначают точки построения угла.

Углы измеряются в градусах и могут (в зависимости от их значения) по-разному называться. Так, существует прямой угол, острый, тупой и развернутый. Каждому из названий соответствует определенная градусная мера или ее промежуток.

Острым называется угол, мера которого не превышает 90 градусов.

Тупым является угол, превышающий 90 градусов.

Угол называется прямым в том случае, когда его градусная мера равна 90.

В том случае, когда он образован одной сплошной прямой, и его градусная мера равна 180, его называют развернутым.

Углы, имеющие общую сторону, вторая сторона которых продолжает друг друга, называются смежными. Они могут быть как острыми, так и тупыми. Пересечение линией образует смежные углы. Свойства их следующие:

1. Сумма таких углов будет равна 180 градусам (существует теорема, доказывающая это). Поэтому можно легко вычислить один из них, если известен другой.
2. Из первого пункта следует, что смежные углы не могут быть образованы двумя тупыми или двумя острыми углами.

Благодаря этим свойствам, можно всегда вычислить градусную меру угла, имея значение другого угла или, по крайней мере, отношение между ними.

Вертикальные углы

Углы, стороны которых являются продолжением друг друга, называются вертикальными. В качестве такой пары могут выступать любые их разновидности. Вертикальные углы всегда равны между собой.

Они образуются при пересечении прямых. Совместно с ними всегда присутствуют и смежные углы. Угол может быть одновременно смежным для одного и вертикальным для другого.

При пересечении произвольной линией также рассматривают еще несколько видов углов. Такая линия называется секущей, она и образует соответственные, односторонние и накрест лежащие углы. Они равны между собой. Их можно рассматривать в свете свойств, которые имеют вертикальные и смежные углы.

Таким образом, тема углов представляется довольно простой и понятной. Все их свойства легко запомнить и доказать. Решение задач не представляется сложным до тех пор, пока углам соответствует числовое значение. Уже дальше, когда начнется изучение sin и cos, придется запоминать множество сложных формул, их выводов и следствий. А до того времени можно просто наслаждаться легкими задачками, в которых необходимо найти смежные углы.

Смежные углы – два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой.

Сумма смежных углов равна 180°

Вертикальные углы - это два угла, у которых стороны одного угла являются продолжение сторон другого.

Вертикальные углы равны.

2. Признаки равенства треугольников:

I признак : Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

II признак : Если стороны и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

III признак : Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны

3. Признаки параллельности двух прямых: односторонние углы, накрест лежащие и соответственные:

Две прямые на плоскости называются параллельными , если они не пересекаются.

Накрест лежащие углы: 3 и 5, 4 и 6;

Односторонние углы: 4 и 5, 3 и 6; рис. Стр55

Соответственные углы: 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7;

Теорема : Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Теорема : Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Теорема : Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Теорема : если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны

Теорема : если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны

Теорема : если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180°

4. Сумма углов треугольника:

Сумма углов треугольника равна 180°

5. Свойства равнобедренного треугольника:

Теорема: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Теорема: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, являетсямедианой и высотой (медиана наоборот), (биссектриса делит угол пополам, медиана делит сторону пополам, высота образует угол 90°)

Признак: Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный.

6. Прямоугольный треугольник:

Прямоугольный треугольник - это треугольник, в котором один угол прямой (то есть составляет 90 градусов)

В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета

1. Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°

2. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы

3. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°

7. Равносторонний треугольник:

РАВНОСТОРОННИЙ ТРЕУГОЛЬНИК, плоская фигура, имеющая три стороны равной длины; три внутренних угла, образуемых сторонами, также равны и составляют 60 °С.

8. Sin, cos, tg, ctg:

Sin= , Cos= , tg= , ctg= , tg= , ctg=

9. Признаки четырехугольника^

Сумма углов четырёхугольника равна 2 π = 360°.

Четырёхугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, сумма противоположных углов равна 180°

10. Признаки подобия треугольников:

I признак : если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны

II признак : если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

III признак : если три стороны одного треугольника порциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны

11. Формулы:

· Теорема Пифагора: a 2 +b 2 =c 2

· Теорема sin:

· Теорема cos:

· 3 формулы площади треугольника:

· Площадь прямоугольного треугольника: S= S=

· Площадь равностороннего треугольника:

· Площадь параллелограмма: S = ah

· Площадь квадрата: S = a2

· Площадь трапеции:

· Площадь ромба:

· Площадь прямоугольника: S=ab

· Равносторонний треугольник. Высота: h=

· Тригонометрическая единица: sin 2 a+cos 2 a=1

· Средняя линия треугольника: S=

· Средняя линия трапеции : МК=

©2015-2019 сайт
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-12-12